隨著中國國力的上升，人民生活水平的提高，坐飛機出國旅游已經(jīng)不是一件稀罕的事情。在長途飛行中，飛機上除了播放一些文藝節(jié)目外，也會不時顯示出飛機的位置和已經(jīng)飛過的路線。如果留意一下這些飛行路線，就會發(fā)現(xiàn)一個“奇怪”的現(xiàn)象：飛機好像并不是沿著最短路線飛，而是在“繞著”飛。

比如從美國的洛杉磯經(jīng)過韓國的仁川中轉(zhuǎn)后，飛回中國的上海，就是這樣“繞著”飛的。洛杉磯的緯度是北緯34度03分，仁川和上海的緯度和洛杉磯差不多，分別是北緯37度28分和31度20分。在想象中，從洛杉磯飛向仁川應(yīng)該基本上是往西飛，即基本上是沿著北緯34度到37度的這個區(qū)帶往亞洲飛。在地圖上，飛行路線應(yīng)該基本上是一條直線。

但是飛機的實際飛行路線卻不是這樣。飛機從洛杉磯起飛后，并不往西飛，而是沿著北美洲的海岸線朝西北方向飛。到了白令海峽以后，才轉(zhuǎn)向正西，然后又轉(zhuǎn)向西南方向飛，從堪察加半島附近飛過，再飛向仁川。很明顯，飛機是在地圖上繞了一個大圈子。

現(xiàn)在汽油的價格這么高，航空公司為了節(jié)省飛行成本，想盡了一切辦法。但是它們?yōu)槭裁床贿x擇最短的路線飛呢？多飛這么多里程，要多燒多少汽油??！

但是在實際上，飛機是沿著最短的路線飛行的。要是飛機真的是基本上沿著緯度線一直向西飛，即沿著地圖上洛杉磯和仁川之間的直接連線飛，路程反而更長。

你也許會覺得奇怪：這怎么可能呢？問題就出在地圖上。我們平時所用的世界地圖并不能準(zhǔn)確地反映出地球表面各個點之間的空間關(guān)系，而是經(jīng)過變形的。所以在插圖中看見的“繞彎”的路線，其實是一種假象。你要是去看地球儀，就會發(fā)現(xiàn)洛杉磯和仁川之間的最短路線應(yīng)該是在地球儀上這兩個城市之間拉一根繃緊的橡皮筋的途徑，與插圖中飛機走的路線基本相符，而不是沿著34到37度的緯線走的。那樣走反而更遠(yuǎn)。這是因為：

球面不能展成平面而不變形

從幾何上講，地球表面上兩點之間的最短距離應(yīng)該是通過地球球心和地表兩點這三個點決定的平面與地球表面的交界線（在這里假設(shè)地球是一個完美的球形）。而沿著緯線的平面，除了在赤道（緯度為零）外，都不通過地心，因此這個平面與地球表面的交界線就不會是最短距離。

地圖變形的原因就在于，地球的表面是一個球面（三維），而我們平時使用的地圖是一個平面（二維）。球面是沒有辦法展平為平面而不變形的。你只要剝下一個廣柑的皮（盡量剝成一片），把它放在桌上，你就會發(fā)現(xiàn)這些皮不能被展開成一個平面。

不是說所有的曲面都不能變成平面。比如把吸果汁的管子縱向剪開，就可以展成一個平面。圓錐形的表面也可以展成平面。在這里，曲面只在一個方向上“拐彎”，在另一個方向上仍然保留有直線。如果曲面在各個方向上都“拐彎”，像球面那樣，就沒有辦法展為平面了。

但是只有平面的地圖用起來才方便。那怎么辦呢？為了解決這個問題，人們使用了各種投影方法。一種辦法就是利用圓筒能展為平面的原理，把地球“裝”在一個圓筒中，地球的赤道和圓筒相接觸。再想象圓筒的中軸上有一條光源，光線只能朝垂直于中軸的方向照射。把地球表面上的各點投影到圓柱上，再把圓筒展為平面，就得到了二維的平面地圖。

很容易看出，這樣得到的地圖在赤道附近變形最小。離赤道越遠(yuǎn)，變形越大。在北極和南極，在地球上本來是一個點，現(xiàn)在卻要變成一個與赤道長度相等的直線，變形無限大（從零到某個固定數(shù)值）。緯度很高的國家，比如加拿大，俄國，冰島，就在東西方向上被極大地拉長了。

而且這樣投影，越往北極和南極，緯度之間的距離也被壓縮得越厲害。為了保持緯度之間的距離不變，可以把經(jīng)線和緯線都畫成垂直相交，距離相等的直線。這樣在緯度上沒有變形，但是在經(jīng)度上被拉伸了。

這就像被縱向切成一瓣瓣的西瓜，西瓜皮中間最寬，而兩頭是尖的。把這些西瓜皮排成一排，只要把西瓜切的瓣數(shù)足夠多，就可以基本上把這些西瓜皮排成一個平面。但是這個平面只在赤道線上是連續(xù)的，上下都由“鋸齒”組成。如果把“鋸齒”都橫向擴展到赤道線那么寬，就可以變成一個連續(xù)的長方形的平面。這樣得到的地圖，在極地附近也有非常大的變形。

另一個辦法是讓西瓜皮鋸齒橫向變形，彼此并到一起，它們的尖也合在一起，使北極和南極再次成為一個點，地圖的其它點也相應(yīng)地靠攏，這樣也可以得到一個連續(xù)的近似橢圓的平面地圖。這樣得到的地圖在經(jīng)度方向上沒有拉伸，緯度方向上也沒有壓縮。但是在地圖的邊緣，形狀變化很大。本來是南北方向的直線變成很彎的曲線了。

為了避免這些嚴(yán)重的缺點（極地?zé)o限拉伸和邊緣極度變形），可以采取一個折中，即把西瓜皮的“尖”也擴展一點，再把這些鋸齒橫向合并。這樣得到的地圖上下方不是一點，而是比赤道短一些的線，整個地圖像一個鼓從旁邊看的圖形。這樣在高緯度區(qū)域仍然有拉伸，但是拉伸的程度小一些，而且在邊緣地區(qū)變形也比較小。我們現(xiàn)在使用的世界地圖，基本上就是這樣得到的。

由于在高緯度地帶仍然有拉伸，而且緯度越高，拉伸越厲害。像俄國和加拿大的版圖就被人為地拉長了，顯得這兩個國家格外巨大。飛機在這樣的地圖上顯示出來的飛行路線也是被拉伸了的，也就是被人為地夸大了。

同理，我們在大洋彼岸遙望祖國，比如從洛杉磯的海邊遙望上海，也不是想象的那樣應(yīng)該向西沿著緯線望，而是應(yīng)該向西北方向望，那才是到上海的最短距離。

球面與平面的關(guān)系對我們的生活和工作的影響

球面與平面之間的相互不能轉(zhuǎn)換性也影響到我們的生活和工作。比如一些火箭和飛機的頭部是做成圓錐形的，以減少空氣阻力。這樣的形狀可以方便地用金屬板卷曲而成，因而加工起來簡單方便。但是圓錐形并不是最好的形狀。我國剛剛成功發(fā)射的“天宮一號”所使用的整流罩，頂部的形狀就采用了馮·卡門曲線以最大限度地降低空氣阻力。這樣得到的球面是不能展開為平面的。這里人們利用金屬的延展性，即可以變形。如果有正確的模子，就可以沖壓成型，即把平面變形為球面。許多球面和曲面的產(chǎn)品就是經(jīng)過金屬板的沖壓變形而成的。但是模子的加工是一個不容易的任務(wù)。另一個辦法是鑄造，直接成型，繞過平面變曲面的問題。但是鑄造也需要模子。

我們的頭基本上是圓球形的，用一塊布就無法不起皺褶地做成一頂帽子。一種辦法是用多條西瓜皮形狀的布連成一頂帽子，這就是我們早些年見到的“瓜皮帽”。用布做的各種形狀的帽子，都是由多塊布拼接而成的。同樣，用牛皮做籃球也要用多塊皮子拼接起來。因為布和牛皮的延展性沒有金屬好，變形有限。用毛線織帽子就可以通過加針和減針改變形狀，繞過平面和球面之間變換難的問題。

我們身體的形狀是很復(fù)雜的，也很難展為平面。所以要用延展性不好的布料做衣服也不是一件容易的事情。特別是內(nèi)衣，用延展性差的布料制作，必然會出現(xiàn)令人不舒服的皺褶。人們喜歡穿針織的內(nèi)衣，就是因為它們的延展性好，比布料更加熨貼。就是外面的衣服合身了，能夠容易地把衣服疊起來（再變?yōu)槠矫妫┮彩遣蝗菀椎?。在這里剪裁的水平就有高下之分。所以裁縫也不是那么容易做的。名牌衣服之所以賣得貴，原因之一也是剪裁的水平高。

人的科學(xué)技術(shù)水平可以不斷進(jìn)步，許多原來沒有的東西可以被創(chuàng)造出來；原來不可能的事情，經(jīng)過努力也可以辦到。但是一些基本的規(guī)律卻是不能違反的，它們所帶來的限制也是難以完全克服的。球面和平面的關(guān)系就是一個例子。


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