圖1、圖2為《勾股容圓》紀(jì)念封。（圖片由中國(guó)集郵有限公司提供）

圖3、圖4、圖5、圖6分別為《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《測(cè)圓海鏡》《則古昔齋算學(xué)》的書(shū)影。（圖片由作者提供）

據(jù)漢代《周髀算經(jīng)》記載，昔者周公問(wèn)算于商高，商高對(duì)曰：“勾廣三，股修四，徑隅五?！敝芄澰唬骸按笤昭詳?shù)?！?/span>

古人以“勾三股四弦五”為上聯(lián)，有對(duì)仗下聯(lián)“六詩(shī)七絕八古”者，也有巧對(duì)“碧草玉蘭修竹”者，又何其美哉言數(shù)也！

漢代《九章算術(shù)》勾股章第16題“今有勾八步，股十五步。問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”

該題“術(shù)文”為“八步為勾，十五步為股，為之求弦。三位并之為法，以勾乘股，倍之為實(shí)。實(shí)如法，得徑一步。”三位即勾、股、弦，若分別以a、b、c表示，則此圓徑d=2ab／a+b+c。

此開(kāi)勾股容圓問(wèn)題研究之先河。勾股容圓是通過(guò)勾股形（今稱直角三角形）和圓的各種相切關(guān)系求圓直徑的問(wèn)題，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要問(wèn)題。

魏晉時(shí)期的劉徽用出入相補(bǔ)原理和率的理論（借助衰分術(shù)）兩種方法證明了這個(gè)公式。

宋金時(shí)期，洞淵在此基礎(chǔ)上研究了同一個(gè)圓和各種勾股形的相切關(guān)系，給出了由勾股形的三邊求圓徑的9個(gè)公式，稱為“洞淵九容”。洞淵是道教的派別，通“九數(shù)”，活躍于唐宋。

元代李冶由洞淵九容演繹成《測(cè)圓海鏡》，不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。

卷一“圓城圖式”：“假令有圓城一所，不知周徑。四面開(kāi)門，門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭，定為乾地；其東北十字道頭，定為艮地；其東南十字道頭，定巽地；其西南十字道頭，定為坤地。所有測(cè)望雜法，一一設(shè)問(wèn)如后?！贝藶椤稖y(cè)圓海鏡》170問(wèn)的總題設(shè)：今正方形乾坤巽艮容一圓，圓與15個(gè)勾股形的各種關(guān)系，由此展開(kāi)。

這是全書(shū)的總括圖解，由一個(gè)直角三角形、它的內(nèi)切圓以及一些特定的點(diǎn)和直線組成。其中的頂點(diǎn)、圓心和交點(diǎn)都用某個(gè)漢字來(lái)指代，相當(dāng)于西方用字母，有異曲同工之妙，是為李冶的創(chuàng)造。

卷一“識(shí)別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共600余條，每條可看作一個(gè)定理（或公式），這部分內(nèi)容是對(duì)中國(guó)古代關(guān)于勾股容圓問(wèn)題的總結(jié)。

后面各卷的習(xí)題，都可以在“識(shí)別雜記”的基礎(chǔ)上以天元術(shù)（解方程）為工具推導(dǎo)出來(lái)。李冶總結(jié)出一套簡(jiǎn)明實(shí)用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他發(fā)明了負(fù)號(hào)和一套先進(jìn)的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼。除零以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇零空位，沒(méi)有符號(hào)“0”。從現(xiàn)存古算書(shū)來(lái)看，李冶的《測(cè)圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書(shū)九章》是較早使用0的兩本書(shū)，它們成書(shū)的時(shí)間相差不過(guò)一年?！稖y(cè)圓海鏡》重在列方程，對(duì)方程的解法涉及不多。但書(shū)中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程（最高為6次），給出的根全部準(zhǔn)確無(wú)誤，可見(jiàn)李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的。

總之，李冶在勾股容圓術(shù)中有專門的概念和公式，采用了演繹推理的方法，這在中國(guó)數(shù)學(xué)思想發(fā)展史中占有重要的地位。

中國(guó)宋元時(shí)期，研究測(cè)圓術(shù)的數(shù)學(xué)家不在少數(shù)。比如朱世杰的《四元玉鑒》中有“勾股測(cè)望”門，其中就有這方面的題目。比如有一題是這樣的：“今有圓城，不知大小，各中開(kāi)門。甲、乙俱從城心而出，甲出南門一十五步而立；乙出東門四十步見(jiàn)甲。問(wèn)城周幾何？”

后世學(xué)者對(duì)《測(cè)圓海鏡》給予高度的評(píng)價(jià)。清代阮元認(rèn)為《測(cè)圓海鏡》是“中土數(shù)學(xué)之寶書(shū)”；《則古昔齋算學(xué)》的作者李善蘭稱贊它是“中華算書(shū)實(shí)無(wú)有勝于此者”，又補(bǔ)充了3種容圓關(guān)系：勾弦上容圓，股弦上容圓，弦外容圓。

（作者系國(guó)家教育咨詢委員會(huì)委員，中國(guó)科技館原館長(zhǎng)、研究員）

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