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出品：科普中國

作者：Denovo

監(jiān)制：中國科普博覽

你或許也有過這樣的經(jīng)歷：搬家時，想在狹窄的空間里移動家具，結(jié)果在轉(zhuǎn)彎時被卡住，怎么轉(zhuǎn)都轉(zhuǎn)不過去。數(shù)學(xué)家將這一難題稱為“移動沙發(fā)問題”。

2024年12月2日，韓國數(shù)學(xué)家白真允（Jineon Baek）在社交媒體上宣稱自己已解決這一問題，隨即在國內(nèi)外媒體和數(shù)學(xué)界引發(fā)廣泛討論。也許你會好奇：看似一個與日常生活緊密相關(guān)的小問題，到底有多難？

移動沙發(fā)問題涉及形狀如何適應(yīng)拐角的數(shù)學(xué)問題

（圖片來源：加州大學(xué)戴維斯分校）

“移動沙發(fā)問題”是什么？

事實上，“移動沙發(fā)問題”是一個經(jīng)歷了許多討論與探索的問題。早在20世紀60年代，一些數(shù)學(xué)家就已經(jīng)開始探討與這一問題相關(guān)的幾何優(yōu)化問題。

1966年，奧地利裔加拿大數(shù)學(xué)家李奧·莫澤（Leo Moser）在正式的數(shù)學(xué)刊物中首次提出了“移動沙發(fā)問題”的明確數(shù)學(xué)定義和問題描述：在寬度為1的L形平面走廊中，能夠通過一個直角轉(zhuǎn)彎而不發(fā)生碰撞的“沙發(fā)”的最大面積是多少？這一問題自此引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，并成為經(jīng)典的幾何優(yōu)化問題之一。

移動沙發(fā)問題演示

（圖片來源：文獻[1]）

1968年，英國數(shù)學(xué)家約翰·邁克爾·哈默斯利（John Michael Hammersley）根據(jù)最簡單的情形提出了一種解法。他將“沙發(fā)”設(shè)計成類似于一個電話聽筒的形狀，由兩個四分之一圓和一個中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個半圓形，從而得出的“沙發(fā)”最大面積為

。

哈默斯利設(shè)計的“沙發(fā)”

（圖片來源：維基百科）

1992年，美國數(shù)學(xué)家約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）在哈默斯利設(shè)計的“沙發(fā)”的基礎(chǔ)上進行了改進，提出了一種由18條光滑曲線圍成的“沙發(fā)”，算出的最大沙發(fā)面積約為2.2195，進一步提高了這個問題解的下限。

杰弗設(shè)計的“沙發(fā)”

（圖片來源：維基百科）

又到了2014年，業(yè)余數(shù)學(xué)家菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）通過計算機演算得出了一種最優(yōu)沙發(fā)形狀，其與約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）設(shè)計的“Gerver沙發(fā)”幾乎相同，且計算出的面積在八位有效數(shù)字下相同。這一發(fā)現(xiàn)表明，杰弗設(shè)計的“沙發(fā)”很可能就是移動沙發(fā)問題的最優(yōu)解，不過這一點尚未得到數(shù)學(xué)上的正式證明。

不過，科學(xué)家們至少已經(jīng)確定了“沙發(fā)”面積的一個上限，也就是這個面積最大不能超過多少。哈默斯利指出了沙發(fā)常數(shù)的上限最多為2√2≈2.8284。2018年，約阿夫·卡魯斯（Yoav Kallus）和丹·羅米奇（Dan Romik）通過將走廊（而不是沙發(fā)）旋轉(zhuǎn)幾個不同角度，使旋轉(zhuǎn)后的走廊交集形成盡可能大的連接區(qū)域，并利用計算機搜索，成功將“沙發(fā)”的上限縮小至2.37。

也就是說，“移動沙發(fā)問題”的最優(yōu)解在2.2195～2.37之間。

“移動沙發(fā)問題”到底難在哪？

看到這里，你可能會問：“移動沙發(fā)問題”看起來如此直觀簡單，為什么卻困擾數(shù)學(xué)家超過半個世紀？

盡管約瑟夫·杰弗已經(jīng)提出了一個近似最優(yōu)解，但要證明它就是真正的最優(yōu)解仍然非常困難，因為這需要排除所有可能存在的更優(yōu)形狀。而在平面內(nèi)，“沙發(fā)”的形狀可以千變?nèi)f化，最優(yōu)解很可能是一個不對稱、復(fù)雜且不規(guī)則的多邊形。

要探索所有可能的形狀并評估其面積和可移動性，涉及極為龐大的計算量，這使得窮舉所有可能性成為不可能。此外，既缺乏對稱性和規(guī)則性，又能靈活轉(zhuǎn)動和移動的形狀在幾何上本身就非常復(fù)雜，因此，數(shù)學(xué)家們也難以找到一個通用的公式來解決這一問題。

進入新世紀后，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)家們開始廣泛采用計算機輔助設(shè)計和運動路徑模擬，探索“沙發(fā)”可能的形狀。然而，即使是使用計算機輔助的數(shù)值方法和優(yōu)化算法，現(xiàn)有的算法在排除所有潛在的更優(yōu)形狀，以及探索和驗證各種復(fù)雜形狀的可行性和面積時，依然常常面臨計算時間過長和計算資源消耗過大的問題，這在很大程度上限制了進一步研究的進展。

而近年來很火的機器學(xué)習(xí)在解決“移動沙發(fā)問題”時也受到很大限制。機器學(xué)習(xí)模型通常需要大量的數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練，而“移動沙發(fā)問題”的解答主要依賴于理論推導(dǎo)和優(yōu)化算法生成的有限數(shù)據(jù)集，難以滿足大規(guī)模模型的訓(xùn)練需求。

此外，數(shù)學(xué)優(yōu)化問題往往需要高度可解釋和精確的解決方案，而機器學(xué)習(xí)模型的“黑箱”特性使其可能只能給出答案，給不出解決過程，這使得其難以直接應(yīng)用于此類問題的求解。

“沙發(fā)”不僅需要通過直角轉(zhuǎn)彎，還必須避免與走廊的墻壁發(fā)生碰撞，這些多重約束條件使得優(yōu)化過程極為復(fù)雜?！耙苿由嘲l(fā)問題”涉及幾何學(xué)、優(yōu)化理論和計算幾何等多個學(xué)科的知識，因此需要跨學(xué)科的研究來尋找解決方案。

“移動沙發(fā)問題”真的被解決了嗎？

讓我們將目光轉(zhuǎn)向近期備受關(guān)注的白真允（Jineon Baek）那篇長達119頁的論文。他宣稱，自己已證明由約瑟夫·杰弗設(shè)計的那款“沙發(fā)”就是最優(yōu)解。

白真允首先提出了最優(yōu)“沙發(fā)”的形狀限制條件：①沙發(fā)的形狀可通過旋轉(zhuǎn)走廊的交集定義；②沙發(fā)的邊長需滿足特定的平衡條件；③必須能夠旋轉(zhuǎn)90度完成移動。

接著，他證明了“沙發(fā)”在運動過程中，其關(guān)鍵點的軌跡不自交（即沒有重復(fù)或重疊），形成平面上的簡單閉曲線，從而確保了面積計算的嚴謹性。

Q(S)定義的圖示

（圖片來源：文獻[1]）

隨后，他構(gòu)造了一個二次函數(shù)Q(S)作為“沙發(fā)”面積的上界，并利用Mamikon定理和Brunn-Minkowski理論證明了Q(S)是凹函數(shù)，這意味著它的局部最大值也是全局最大值。

最后，他驗證了杰弗設(shè)計的“沙發(fā)”完全符合這些條件，且Q(S)的值在此達到最大，確認其面積2.2195是理論上的最大值。

不過，這篇論文尚未見諸權(quán)威期刊，也未經(jīng)過廣泛的同行評審，目前學(xué)界對其證明的正確性和嚴謹性仍持觀望態(tài)度。要斷言“移動沙發(fā)問題”已經(jīng)徹底解決，恐怕還為時尚早。

結(jié)語

那么，徹底解決這個問題究竟有什么意義呢？

除了在解決過程中開發(fā)的工具和構(gòu)造方法為其他幾何優(yōu)化問題提供了新的思路外，“移動沙發(fā)問題”還可以被抽象為一種空間利用的極限優(yōu)化模型，對建筑設(shè)計、家具制造以及物流管理等實際領(lǐng)域具有重要參考價值。例如，在狹窄空間中搬運物體時快遞機器人的路徑規(guī)劃，生產(chǎn)流水線上的機械臂搬運不規(guī)則物體時的空間路徑規(guī)劃，就可以從這一問題的研究中獲得啟發(fā)。

讓我們靜待數(shù)學(xué)家們對白真允論文的審慎驗證，共同期待這一困擾科學(xué)界60多年的難題最終得以圓滿解決。

參考文獻：

[1] Baek J. Optimality of Gerver's Sofa[J]. arXiv preprint arXiv:2411.19826, 2024.

[2] Gibbs P. A computational study of sofas and cars[J]. Computer Science, 2014, 2: 1-5.

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