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前蘇聯(lián)有一位數(shù)學(xué)、物理、天文學(xué)方面的科普作家，名字叫別萊利曼。他一生中寫了105本科普作品，其中最為有名的是《趣味物理學(xué)》。

雅科夫·伊西多羅維奇·別萊利曼

前兩天，我在他寫的另一本書《趣味數(shù)學(xué)》上，看到了一個(gè)有趣的問題。原題是以列寧格勒為例子，我把它修改成了以北京為例，題目如下：

如果一架飛機(jī)從北京出發(fā)，先向北飛2000km，再向西飛2000km，再向南飛2000km，再向東飛2000km，現(xiàn)在飛機(jī)在哪里？

我把題目發(fā)到網(wǎng)上之后，網(wǎng)友回答非常踴躍，而且答案千奇百怪：有的說回到了北京，有的說跟地球自轉(zhuǎn)有關(guān)，有的說跟飛機(jī)高度有關(guān)，還有的說飛機(jī)沒油了掉海里的。

其實(shí)，這是一個(gè)純粹的中學(xué)地理和數(shù)學(xué)問題，并不是腦筋急轉(zhuǎn)彎。今天我們就來研究一下，飛機(jī)究竟在哪里？

一、球面上的短程線

首先要了解的是：地球是一個(gè)球體，球面上的幾何學(xué)與平面上的幾何學(xué)是不同的。之前我們也曾經(jīng)討論過：在平面上，我們使用的幾何叫做歐幾里得幾何。如果在一個(gè)馬鞍面（雙曲面）上，應(yīng)該使用羅巴切夫斯基幾何；如果在橢球面上，就要用到黎曼幾何。這些幾何的特點(diǎn)是不同的。

歐式幾何、羅氏幾何、黎曼幾何上的三角形

比如在平面上，過直線外一點(diǎn)只有一條直線的平行線，三角形的內(nèi)角和是180度；而在羅氏幾何中，過直線外一點(diǎn)有多條直線的平行線，三角形內(nèi)角和小于180度；在黎曼幾何中，情況又不同：過直線外一點(diǎn)一條直線的平行線都沒有，三角形內(nèi)角和大于180度。

???

???? 再比如：平面上，兩點(diǎn)之間直線段最短。如果地球是一個(gè)平面，從北京出發(fā)經(jīng)過四個(gè)方向各2000km的運(yùn)動(dòng)，最后一定會(huì)回到北京，并且形成一個(gè)正方形。

平面上的正方形

可是在球面上，情況并非如此。球面上并沒有通常意義的直線，球面上的所有線都是彎曲的。不過，從一點(diǎn)出發(fā)到另一點(diǎn)，依然有一個(gè)最短路徑，稱之為短程線。

具體來講：如果我們想知道從球面上一點(diǎn)A到另一點(diǎn)B怎么走最短，應(yīng)該使用如下的方法：首先過A、B和球心O做一個(gè)平面，這個(gè)平面與球體相切，切面是一個(gè)圓。因?yàn)檫@個(gè)圓的圓心就是球心，所以圓的半徑等于球的半徑，這樣的圓是球里所有圓形中最大的，稱為球的“大圓”。

球面上的短程線

?在這個(gè)大圓上，A和B把圓周分成兩端弧，其中比較短的一端?。ù髨A劣?。┚褪茿和B之間的最短路徑，也叫作短程線。短程線就是球面上的“直線”。

??明白了這個(gè)概念，我們很容易理解為什么黎曼幾何中沒有平行線的概念：球面上所有的大圓都是相交的。利用球面上的“直線”，我們能畫出球面上的各種圖形。比如，用三個(gè)彼此垂直的平面切割球面，形成三段互相垂直的“直線”，構(gòu)成一個(gè)三角形ABC。這個(gè)三角形的每條邊都相等，是個(gè)等邊三角形。但是，它的每一個(gè)角都是直角，內(nèi)角和居然有270度！這在平面上是不可想象的，因?yàn)槠矫嫔系娜切巫疃嘀荒苡幸粋€(gè)直角，而且內(nèi)角和是180度。

球面上的直角三角形

? ? ? 如果在地球上畫出這個(gè)巨大的三角形，大約長這個(gè)樣子。它告訴我們：如果你從北極點(diǎn)沿著某條經(jīng)線走到赤道（大約1萬公里），再左轉(zhuǎn)90度向東走1萬公里，再左轉(zhuǎn)90度向北走1萬公里，你就能畫出一個(gè)三個(gè)角都是直角的等邊直角三角形了。

?我們?cè)賮硌芯恳粋€(gè)簡單問題：如果我們買一張機(jī)票從北京起飛，飛到紐約，飛機(jī)會(huì)經(jīng)過哪里？也許有人說：當(dāng)然是走直線啦！飛機(jī)起飛后向東，經(jīng)過韓國、日本、太平洋，穿過美國大陸，然后到達(dá)美國東海岸的紐約！

北京到紐約，是這么飛么？

??

? ? 事實(shí)并非如此，北京起飛的飛機(jī)基本上會(huì)一路向北，經(jīng)過北極上空，再到達(dá)紐約，原因是這條航線就接近于從北京到紐約的“短程線”，說專業(yè)一點(diǎn)叫做“大圓航線”。飛機(jī)沿著大圓航線飛，航程是最短的。

???

北京到紐約的短程線

順便一說。我在某音上把這一段單獨(dú)截取發(fā)了出來，有作者指出我兩個(gè)問題：

第一，我說“飛機(jī)起飛后一路向北，飛過北極，再到紐約”說法有誤，因?yàn)轱w過北極之后就不再是向北了，而是向南！

第二，北京飛紐約的實(shí)際航線與短程線不同，飛機(jī)會(huì)多次調(diào)整航向，大約經(jīng)過白令海峽北側(cè)，阿拉斯加和加拿大，到達(dá)紐約，所以我說通過北極是錯(cuò)的。

對(duì)于第一個(gè)閱讀理解問題，我不想評(píng)論。對(duì)于第二個(gè)問題，實(shí)際航線不可能是“嚴(yán)格”的短程線，因?yàn)樾枰紤]信風(fēng)、機(jī)場(chǎng)、航域、操控等問題，但是大多是“接近”短程線的。而且，北極并非一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)區(qū)域，北京飛紐約的航班進(jìn)入了北極圈，經(jīng)過“北極上空”的說法沒有問題。

二、飛機(jī)為什么飛不回去？

題目中的飛機(jī)從北京起飛后，分別向北、西、南、東四個(gè)方向飛行，東、西兩個(gè)方向，就指的是沿著緯線運(yùn)動(dòng)，緯線是平行于赤道的圓。南北兩個(gè)方向，就是沿著經(jīng)線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)線是連接地球南北兩極的半圓。

經(jīng)線和緯線

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所有的經(jīng)線都是一樣長的，但是越靠近北極，緯線就越短，越靠近赤道，緯線就越長。現(xiàn)在，我們把題目中飛機(jī)飛行的路徑畫在圖上，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)：飛機(jī)最后不會(huì)回到出發(fā)點(diǎn)。

大致的飛行路線

仔細(xì)說說：假如飛機(jī)從地球上的A點(diǎn)出發(fā)，沿著經(jīng)線向北飛2000km到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)它所在的緯度變高了，緯線圈變小了。飛機(jī)繼而轉(zhuǎn)向西方，沿著緯線飛2000km到達(dá)C點(diǎn)，由于緯線圈比較小，所以飛機(jī)跨越了比較多的經(jīng)度。

飛機(jī)再向南，沿著經(jīng)線飛2000km到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)它的緯度已經(jīng)和出發(fā)點(diǎn)相同了。然后飛機(jī)再向東，沿著緯線飛2000km到達(dá)E，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，飛機(jī)并沒有形成一個(gè)正方形。這是因?yàn)殡m然BC和DE的飛行距離都是2000km，但是由于BC處緯度高，緯線短，跨越的經(jīng)度大，DE處緯度低，緯線長，同樣飛行距離跨越的經(jīng)度小。所以飛機(jī)現(xiàn)在依然在出發(fā)點(diǎn)的西側(cè)，它還需要再飛行一段，才能回到出發(fā)點(diǎn)。一個(gè)更好看的圖如下：

飛機(jī)的路徑ABCDE

三、飛機(jī)到底在哪里？

現(xiàn)在，我們就來計(jì)算一下題目中的飛機(jī)最后到底在哪里，我們要依次計(jì)算出A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后找到E點(diǎn)的位置。

首先，北京的坐標(biāo)大約是A（40oN，116oE），它先向北飛行2000km，到達(dá)B點(diǎn)，從下圖可知：二者緯度差大約為18度，于是B點(diǎn)的坐標(biāo)是（58oN，116oE）。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，還可以計(jì)算出A和B兩個(gè)點(diǎn)到地軸的距離RA和RB，這實(shí)際上就是北緯40度和北緯58度兩條緯線的半徑，這個(gè)數(shù)據(jù)在一會(huì)兒的計(jì)算中會(huì)很有用。

直觀圖，圖中橢圓表示赤道平面

??

下面我們計(jì)算下一個(gè)轉(zhuǎn)角C點(diǎn)的坐標(biāo)。這需要畫一個(gè)從北極上空的俯視圖。從這個(gè)角度看去，A所在的緯線圈半徑RA比較大，B和C所在的緯線圈半徑RB比較小。經(jīng)過2000km，BC之間夾角大約34度，這說明B和C的經(jīng)度相差34度，C點(diǎn)在B的西側(cè)，所以經(jīng)度是116度-34度=82度，也就是C的坐標(biāo)C（58oN, 82oE）。

?? 北極上空俯視圖

??繼續(xù)，從C點(diǎn)沿著經(jīng)線向南，再走2000km到達(dá)D，就會(huì)回到A所在的緯線圈。此時(shí)D和C依然在同一根經(jīng)線上，所以D點(diǎn)的緯度和A相同，經(jīng)度和C相同，經(jīng)緯度是D（40oN，82oE）。

北極上空俯視圖

最后，飛機(jī)從D點(diǎn)沿著緯線向東飛2000km，就是沿著俯視圖中A和D所在的圓向著A運(yùn)動(dòng)。飛行2000km后，到達(dá)E點(diǎn)，可以算出DE之間的夾角是23.5度，這也是D和E的經(jīng)度差，E點(diǎn)的經(jīng)度是82+23.5=106度，即E點(diǎn)經(jīng)緯度（40oN，106oE）。

北極上空俯視圖

??由此，我們計(jì)算出了飛機(jī)經(jīng)過的幾個(gè)位置，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最終飛機(jī)的緯度回到了與北京相同緯度的地方，但是經(jīng)度卻差了大約10度，飛機(jī)的確沒有飛回北京。如果我們?cè)诘貓D上查閱北緯40度，東經(jīng)106度，會(huì)發(fā)現(xiàn)是在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿拉善左旗的位置，在北京西側(cè)800多公里處。

阿拉善左旗

最后留個(gè)思考題吧。根據(jù)我們剛才所講的：只有球面上的短程線（大圓的?。┎拍芩闶乔蛎嫔系摹爸本€”，所以經(jīng)線都是直線，而緯線中只有赤道才算直線。飛機(jī)沿著非赤道緯線向東西飛行時(shí)，走的都不是直線。

假如你還是乘坐一架飛機(jī)從北京出發(fā)，沿著直線向北飛行2000km，然后左轉(zhuǎn)90度角，繼續(xù)沿著直線飛行2000km，再次左轉(zhuǎn)90度角，再沿直線飛行2000km，再左轉(zhuǎn)90度角，再沿直線飛行2000km，經(jīng)過三個(gè)轉(zhuǎn)角和4個(gè)2000km后，你現(xiàn)在在哪里？

知道這個(gè)答案的小伙伴，請(qǐng)?jiān)谠谠u(píng)論區(qū)留言。

來源：?李永樂老師

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